Matematyka dla humanistów, dyslektyków i... innych przypadków beznadziejnych

"Zawodowy matematyk, profesor Oxfordu, Harvardu czy też Uniwersytetu Jagiellońskiego, nie umiejący rozwiązać prostego równania liniowego ? Tacy fizycy jak Steven Hawking z Cambridge czy też inni laureaci Nagrody Nobla w tej dziedzinie, nie potrafiący przekształcić najprostszego wzoru? Na pierwszy rzut oka te słowa brzmią jak herezja albo majaczenie szaleńca, ale tak jest w istocie. W pewnym sensie.

Jeżeli drogi czytelniku skręcałeś kiedykolwiek nowe meble, to wiesz jakie to doświadczenie. A teraz wyobraź sobie, że masz skręcić komplet mebli, ale nie masz instrukcji montażu, a co więcej, nie masz bladego pojęcia jak te meble mają wyglądać. Pracownik sklepu, z którego te meble pochodzą, a który zawodowo zajmuje się ich montażem, natychmiast dostrzega czy chodzi o kanapę czy też sofę, szafę bądź komodę. Jemu żadna instrukcja do ich montażu nie jest potrzebna. Co więcej, może to uczynić nawet na kilka sposobów, w różnej kolejności, w zależności na przykład od tego, po który element jest mu wygodniej sięgnąć. Gdybyśmy jednak zapytali go, dlaczego skręca te meble akurat w taki właśnie sposób, a nie inny, w takiej właśnie kolejności, a nie innej, wzruszyłby jedynie ramionami i stwierdził: no bo tak to się robi. Natomiast nam, metodą prób i błędów, być może się ta sztuka uda, a może nie – zostaną nam jakieś części lub ich zabraknie, większość po kilku próbach się zniechęci.

To właśnie w tym sensie zawodowi matematycy czy też fizycy nie potrafią rozwiązywać równań i przekształcać wzorów. Dla nich jest to tak oczywiste, jak wkręcenie we właściwy otwór odpowiedniej śrubki dla fachowca montującego nasze meble. Gdyby jednak zadać im pytanie dlaczego w tej, a nie innej kolejności wykonali jakąś operację matematyczną przy rozwiązywaniu równania liniowego, to dowiedzielibyśmy się jedynie, że... tak to się robi.

Odpowiadający montażowi mebli bez instrukcji, sposób rozwiązywania jakiegoś typu problemów matematycznych, matematycy określają eleganckim eufemizmem: „rozwiązanie kombinacyjne”. Kiedy jednak udaje się znaleźć taką „matematyczną instrukcję montażu”, to nosi ona wtedy nazwę algorytmu, który precyzyjnie określa co, w jakiej kolejności i dlaczego właśnie tak się robi. Cóż, dla zawodowego matematyka, rozwiązywanie równań liniowych, jest rzeczą tak oczywistą, że nie zawraca sobie tym problemem głowy. Wie, że musi osiągnąć rozwiązanie postaci: x = - b/a (czyli wie jak ma wyglądać nasz mebel po zakończonym montażu).

Istotę problemu znakomicie oddali dwaj pracownicy naukowi Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda w swojej książce „Bezmiar matematycznej wyobraźni.” Otóż autorzy przywołują w niej pokłosie badań, jakie na przełomie tysiącleci wykonali brytyjscy naukowcy, pytając dwunastolatków z siedmiu krajów o ich opinie o matematykach. Według uczniów, okazało się, że matematycy to ludzie pozbawieni przyjaciół, żyjący samotnie, zazwyczaj wyłysiali, mający zmarszczki na czole z powodu nadmiernego wysiłku umysłowego, niemodnie ubrani, mający jednak swoje ulubione rozrywki – takie, jak rozwiązywanie w wolnych chwilach równań kwadratowych. Jak sądzisz drogi czytelniku, czym najbardziej byli poruszeni matematycy? Otóż okazało się, że zapoznani z wynikami badań matematycy najbardziej byli poruszeni fragmentem dotyczącym rozwiązywania równań kwadratowych. Czego jak czego, ale tego na pewno w wolnym czasie nie robią!

Być może to było przyczyną swoistej inercji w środowisku matematycznym, że dla rozwiązywanych już od dwóch tysiącleci równań liniowych nie znaleziono (ponieważ nie szukano!) dotychczas ogólnego algorytmu do ich rozwiązywania. Może dlatego również, że nie znam przypadku by jakiś profesor wyższej uczelni, kształcący nauczycieli pracował również w szkole: podstawowej, w gimnazjum czy w liceum. Gdyby tak było, to zapewne ten algorytm już dawno byłby w podręcznikach.

Zawodowy matematyk oczywiście algorytmu nie potrzebuje, ale bez takiej „instrukcji obsługi” dla przeciętnego ucznia, nie wspominając już o tak zwanym „przypadku beznadziejnym” - co po polsku na ogół oznacza humanistę - trudno wykrzesać z siebie entuzjazm do nauki tego przedmiotu. To właśnie „humanista”, a także uczeń przeciętny i słaby, chcą znać zasadę, która pozwoliłaby im w trakcie rozwiązywania równania na sformułowanie wniosku, który w instrukcji montażu mebla brzmi: „weź śrubokręt do prawej ręki, a lewą ręką śrubkę numer 3 wkręć w otwór numer 17”, gdyż tak jak w muzyce: są ludzie, którzy potrafią odtworzyć utwór ze słuchu (znakomita mniejszość!), jak i tacy, którzy potrzebują do tego nut. Tym bardziej, że w zasadzie trudno wskazać jakiekolwiek zadanie egzaminacyjne na dowolnym etapie nauczania matematyki, w którym nie trzeba by było rozwiązać jakiegoś równania. To, że autorowi udało się ten algorytm znaleźć jest oczywiście sensacją matematyczną więcej niż tylko dla lokalnej prasy. Jakkolwiek bowiem wartość naukowa tego wyniku, poza satysfakcją dla autora oczywiście, jest raczej znikoma - matematycy i tak potrafią rozwiązywać równania liniowe, a fizycy przekształcać wzory, to dla dydaktyki matematyki, wydaje mi się nieskromnie, wartością nie do przecenienia. Pokazany algorytm wymaga bowiem jedynie znajomości kolejności wykonywania działań arytmetycznych i obejmuje procedurę składającą się tylko z trzech kroków. Tą umiejętność młodzież posiada (teoretycznie oczywiście) już w klasie V-ej szkoły podstawowej. Jeżeli bowiem młody człowiek w tym wieku nie zna kolejności wykonywania działań arytmetycznych to nie powinien znaleźć się w klasie V-ej szkoły podstawowej. Nic więc nie stoi na przeszkodzie by w młodzieży, w tym właśnie wieku, wykształcić umiejętność rozwiązywania równań i przekształcania wzorów. Dyskutować można co najwyżej zakres tej umiejętności. Jest to także jedyne narzędzie służące do rozwiązywania zadań tekstowych. Takie samo, jak na przykład nóż i widelec. Dopóki dziecko nie nauczy się nimi swobodnie posługiwać, nie jest w stanie sprawnie spożywać posiłków, które tego wymagają, a pierwsze próby posłużenia się nimi przez dzieci są przecież komiczne. Tej sytuacji w nauczaniu matematyki odpowiada rozwiązywanie zadań z treścią. Trudno oczekiwać, aby uczeń, który w celu rozwiązania zadania tekstowego musi ułożyć do jego treści co najmniej jedno równanie, potrafił i chciał je ułożyć, jeżeli swobodnie nie potrafi posługiwać się narzędziem, jakim jest w tym wypadku umiejętność rozwiązywania tychże równań. Jest to analogicznie komiczna sytuacja. Jeżeli natomiast swobodnie potrafi te równania rozwiązywać, to przy zadaniu tekstowym całą uwagę może skoncentrować na ułożeniu równania. Potem wie, że będzie mu łatwo, gdyż wystarczy to równanie rozwiązać, a tą umiejętność ma przyswojoną.
Powtarzając, jeżeli trzeba, procedurę dwóch kroków pokazanego w tej książce algorytmu – można rozwiązać każde równanie liniowe i przekształcić każdy wzór, z jakim uczniowie spotykają się nie tylko na lekcjach matematyki, ale również fizyki, chemii a nawet geografii. Pozwala to na biegłe opanowanie tej umiejętności w czasie dwóch do trzydziestu godzin lekcyjnych. To zróżnicowanie czasowe zależy oczywiście od wieku, wiedzy i zdolności ucznia, a więc dłużej potrwa nauczanie i wyćwiczenie tych kompetencji u ucznia klasy piątej szkoły podstawowej, odpowiednio krócej u gimnazjalisty czy też maturzysty bądź studenta.

Chciałbym uzmysłowić szeroko rozumianemu środowisku matematycznemu, że nauczanie rozwiązywania równań i przekształcania wzorów zaczyna się już w klasie pierwszej szkoły podstawowej, przy okazji rozwiązywania zadań typu: 1+?=3, a kończy dopiero w klasie maturalnej wyrażeniami wymiernymi.

Co więcej, już w szkole podstawowej, na lekcjach geometrii młodzież musi korzystać ze wzorów, których przekształcać nie potrafi. Nikogo nie dziwi, że za absurdalną sytuację uznamy taką, w której na lekcji WF-u nakazywałoby się uczniom wykonywania salta, gdy nie potrafią jeszcze wykonać zwykłego przewrotu w przód. A na lekcjach fizyki i chemii takiego matematycznego salta od młodzieży się wymaga!!! Czas najwyższy chyba na zmianę tego stanu rzeczy. Jest to bowiem sytuacja terroru i psychicznego znęcania się ze strony osób odpowiedzialnych za redagowanie programów nauczania i ich egzekucji. Dzieciaki nie potrafią rozwiązywać równań i przekształcać wzorów, a programy i podręczniki składają się tylko z zadań, w których równanie trzeba rozwiązać wprost, albo do treści zadania ułożyć jedno lub więcej równań.

Autor dokonał analizy treści zadań w podręcznikach szkolnych pod kątem narzędzi, których trzeba użyć w celu ich rozwiązania. Począwszy od klasy szóstej szkoły podstawowej 80 %, a w latach następnych – w gimnazjum i w liceum prawie 100% zadań w podręcznikach i zbiorach zadań wymaga rozwiązania równania wprost, lub ułożenia do ich treści jednego bądź więcej równań i ich rozwiązania.

Z pewnym rozbawieniem próbuję wyobrazić sobie miny nauczycieli zwłaszcza tych akademickich, gdy studenci zapytają :
„ Panie asystencie ( doktorze, docencie, profesorze)! Czy Pan już się nauczył rozwiązywać równania liniowe?”.
Przed udzieleniem odpowiedzi polecam przemyślenie cytatu z książki profesora Marka Kordosa pt. „Wykłady z historii matematyki”, cyt.: „Ponoć jednostajną zbieżność wymyślił Gudermann w 1838, a potem jeszcze Stokes i Seidel. Było to jednak tak, jak z maszyną parową Herona – wszyscy wiedzą, że zrobił to półtora tysiąca lat później Watt, bo on zrobił z niej użytek.”

Spośród trzech tysięcy ankietowanych na wszystkich poziomach nauczania, również studenci i inżynierowie, zaledwie kilkanaście osób potrafiło to uczynić, uzasadniając zresztą kroki rozwiązania: „no bo tak to się robi”. Ojciec mojej uczennicy, nota bene doktor fizyki, opowiadał mi, że uczył córkę przekształcania wzorów przez zakrywanie palcem tego, co chcemy zostawić po danej stronie równania. Była to oczywiście metoda intuicyjnego stosowania zaprezentowanego w tej książce algorytmu, i jak sądzę przez większość umiejących rozwiązywać równania stosowana, lecz nie zawsze prowadzi ona do sukcesu.

Ponieważ z zaplanowanych kilku słów wstępu zaczyna wychodzić esej nt. edukacji zainteresowanych przemyśleniami autora odsyłam do posłowia, a w tym miejscu wspomnę jedynie, że redakcja książki zajęła mi pięć lat. Każda bowiem na nowo zredagowana wersja wymagała „przetestowania” na nowych uczniach, będących na kilku różnych etapach edukacji. Metodą takiego sita otrzymałem obecną jej wersję, zapewne możliwą do udoskonalenia, lecz dłużej nie mogę już zwlekać z jej publikacją, gdyż moi najbliżsi mogliby kolejnej redakcji jej tekstu po prostu mi nie wybaczyć. Im też przede wszystkim pragnę w tym miejscu podziękować: Oli, Nemkowi i Natalii oraz Teresie, że wytrzymali kolejną, n-tą redakcję tego tekstu. Również gorąco chciałbym podziękować Panu Profesorowi dr hab. Jerzemu Mioduszewskiemu, który zechciał poświęcić kilkadziesiąt godzin na podzielenie się swoimi krytycznymi uwagami, z których większość pozwoliła na udoskonalenie tego opracowania, wreszcie moim uczniom i ich rodzicom, od których uzyskałem tak fantastyczne i zresztą jedyne tak naprawdę istotne recenzje tej publikacji, wreszcie najcierpliwszemu drukarzowi na świecie, panu Karolowi Barwikowi, który przez trzy lata zechciał odraczać kolejne terminy złożenia rękopisu do druku. Dziękuję również wydawcy – a w szczególności Panu Arturowi Karmaszowi, że zechciał cierpliwie doczekać końca prac redakcyjnych. Być może pominąłem wiele osób, którym powinienem podziękować, lecz trzem kobietom z całą pewnością chcę to uczynić w tym miejscu. Pani dr Agnieszce Wojciechowskiej, redaktorce naczelnej czasopisma dla nauczycieli „Matematyka” i Pani dr Krystynie Wuczyńskiej, która wspomnianej redakcji sekretarzuje. Obydwie Panie tak sugestywnie kilka lat temu zachęcały mnie do opracowania w formie publikacji książkowej własnych pomysłów dydaktycznych, że w końcu część z nich zmaterializowała się w tej właśnie, wysoce niedoskonałej zapewne formie, za co mogę jedynie przeprosić i obiecać w następnych wydaniach uwzględnienie uwag krytycznych. Wreszcie serdecznie dziękuję pani Renacie Blanchard, która prze tyle lat zapewniała mi tak znakomite warunki do pracy i wypoczynku w Szwajcarii" - Krzysztof Cywiński